Encyklopaedie der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen: Zweiter Band: Analysis
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Zweiter Band in Drei Teilen Analysis, 065 Um solche im Wesen der Aufgabe begründete Forderungen an­ geben zu können, müssen zunächst einige vorbereitende Bemerkungen über die singulären Stellen der Lösungen gewöhnlicher Differential­ ter gleichungen n Ordnung gemacht werden. Es sei y eine in der Um­ ter gebung von X analytische Lösung einer Differentialgleichung n Ord­ o nung, und es sei auf einem von X ausgehenden Wege l in der kom­ o plexen x-Ebene Xl die erste singuläre Stelle, welche getroffe~ wird. Konvergieren dann y und seine n - 1 ersten Ableitungen bei Annähe­ rung an Xl nach festen endlichen oder unendlich grossen Werten, so hat man in Xl eine Singularität von der Art, wie sie im Referat II A 4a (P. Painleve) wenigstens für die einfachsten Fälle besprochen sind; wenn aber entweder y oder mindestens eine seiner n - 1 ersten Ab­ leitungen bei Annäherung an Xl auf dem Wege 1 nach keinem be­ stimmten Wert konvergiert, so kennt man in Xl weder gewöhnliche noch aussergewöhnliche Anfangsbedingungen; Xl ist dann für y eine Unbestimmtheitsstelle. Des weiteren unterscheidet man bei gewöhn­ liche~ Differentialgleichungen zweierlei Arten von si~ulären Punkten der Lösungen, nämlich: a) feste singuläre Stellen, das sind singuläre Stellen, welche von den Integrationskonstanten nicht abhängen; b) verschiebbare singuläre Stellen, d. h. solche singuläre Stellen, welche durch Änderung der Integrationskonstanten verschoben werden können. Die singulären Stellen der Lösungen von linearen Differential­ gleichungen sind fest, vgl. das Ref. II B 5 (E. Hilb), Nr. 2.

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Zweiter Band in Drei Teilen Analysis, 065 Um solche im Wesen der Aufgabe begründete Forderungen an­ geben zu können, müssen zunächst einige vorbereitende Bemerkungen über die singulären Stellen der Lösungen gewöhnlicher Differential­ ter gleichungen n Ordnung gemacht werden. Es sei y eine in der Um­ ter gebung von X analytische Lösung einer Differentialgleichung n Ord­ o nung, und es sei auf einem von X ausgehenden Wege l in der kom­ o plexen x-Ebene Xl die erste singuläre Stelle, welche getroffe~ wird. Konvergieren dann y und seine n - 1 ersten Ableitungen bei Annähe­ rung an Xl nach festen endlichen oder unendlich grossen Werten, so hat man in Xl eine Singularität von der Art, wie sie im Referat II A 4a (P. Painleve) wenigstens für die einfachsten Fälle besprochen sind; wenn aber entweder y oder mindestens eine seiner n - 1 ersten Ab­ leitungen bei Annäherung an Xl auf dem Wege 1 nach keinem be­ stimmten Wert konvergiert, so kennt man in Xl weder gewöhnliche noch aussergewöhnliche Anfangsbedingungen; Xl ist dann für y eine Unbestimmtheitsstelle. Des weiteren unterscheidet man bei gewöhn­ liche~ Differentialgleichungen zweierlei Arten von si~ulären Punkten der Lösungen, nämlich: a) feste singuläre Stellen, das sind singuläre Stellen, welche von den Integrationskonstanten nicht abhängen; b) verschiebbare singuläre Stellen, d. h. solche singuläre Stellen, welche durch Änderung der Integrationskonstanten verschoben werden können. Die singulären Stellen der Lösungen von linearen Differential­ gleichungen sind fest, vgl. das Ref. II B 5 (E. Hilb), Nr. 2.

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Zweiter Band in Drei Teilen Analysis, 065 Um solche im Wesen der Aufgabe begründete Forderungen an­ geben zu können, müssen zunächst einige vorbereitende Bemerkungen über die singulären Stellen der Lösungen gewöhnlicher Differential­ ter gleichungen n Ordnung gemacht werden. Es sei y eine in der Um­ ter gebung von X analytische Lösung einer Differentialgleichung n Ord­ o nung, und es sei auf einem von X ausgehenden Wege l in der kom­ o plexen x-Ebene Xl die erste singuläre Stelle, welche getroffe~ wird. Konvergieren dann y und seine n - 1 ersten Ableitungen bei Annähe­ rung an Xl nach festen endlichen oder unendlich grossen Werten, so hat man in Xl eine Singularität von der Art, wie sie im Referat II A 4a (P. Painleve) wenigstens für die einfachsten Fälle besprochen sind; wenn aber entweder y oder mindestens eine seiner n - 1 ersten Ab­ leitungen bei Annäherung an Xl auf dem Wege 1 nach keinem be­ stimmten Wert konvergiert, so kennt man in Xl weder gewöhnliche noch aussergewöhnliche Anfangsbedingungen; Xl ist dann für y eine Unbestimmtheitsstelle. Des weiteren unterscheidet man bei gewöhn­ liche~ Differentialgleichungen zweierlei Arten von si~ulären Punkten der Lösungen, nämlich: a) feste singuläre Stellen, das sind singuläre Stellen, welche von den Integrationskonstanten nicht abhängen; b) verschiebbare singuläre Stellen, d. h. solche singuläre Stellen, welche durch Änderung der Integrationskonstanten verschoben werden können. Die singulären Stellen der Lösungen von linearen Differential­ gleichungen sind fest, vgl. das Ref. II B 5 (E. Hilb), Nr. 2.

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